Çarpanlara ayırma çözümlü sorular konu anlatımı 10.sınıf

Çarpanlara ayırma ne demektir ? nasıl yapılır?

Bir sayının yada ifadenin,  iki yada  daha fazla sayının veya ifadenin çarpımı şeklinde yazılmasıdır.

Örnek :     20  = 4.5   olarak yazılır ..ve  4  sayısıda   2.2 olarak yazılınca

  20= 2.2.5   olarak  çarpanlarına ayrılmış olur.

Burada  2    ve  5   sayıları  20   nin asal çarpanlarıdır,  

ayrıca  20  nin çarpanları  4  ve 5  de olabilir.   4  asal (sayı)  çarpan değildir.

Çarpanlara ayırma yöntemleri :

1)  Ortak çarpan parantezine alma  yöntemi;

       20 + 12=  4.5 + 4.3 =  4  .( 5+3)    

  20  nin ve  12  nin  en büyük ortak çarpanı 4 olup

 parantez dışında yazılır.

 

Örnek :

   a.b + a.c   ifadesini  çarpanlara ayıralım.

 

Çözüm:  

a  lar ortak çarpan durumunda olduğundan;

a  parantez dışına,

çarpıldığı sayılar da parantez içine yazılacak.

  a.b + a.c= a.( b+c)     olarak yazılır.

 

 

Örnek :    15a + 5 b   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

 

Çözüm:    15 a  yı    5.3.a   olarak düşünürsek,

 

       15a + 5 b=  5.3.a + 5. b = 5.(3.a+b)    

şeklinde 5 ortak çarpan parantezine alındı.

 

Örnek :    a2 + a   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

 Çözüm:     a2  yi    a.a   olarak düşünürsek,

 

      a2 + a =  a.a + a.1 = a.(a+1)    

     a  sayısı a.1 olarak düşünülür.

     a ortak çarpan parantezine alındı.

 

Örnek :    27x2 - 18x   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

 Çözüm:     27x2  yi    9.3.x.x   ve 18x ise 9.2.x   olarak düşünürsek,

     27x2 + 18x =9.x.(3x - 2 )  

9 ve x ortak çarpan 9x parantezi olur. 

 

Örnek :    a3 - a2 +a   ifadesini çarpanlarına ayıralım.

 Çözüm:    

    a3 - a2 +a =a.a+ a.a + a.1=a.(a2  - a + 1)  

a ortak çarpan olur.  

 

Örnek :    12x2 y + 8 xy2  ifadesini çarpanlarına ayıralım.

 Çözüm:    

12x2 y + 8 xy =4.3.x.x.y + 4.2.x.y.y =4xy.(3x + 2y)  

4 , x ve y ortak çarpan olur.

 

2)  Gruplandırarak çarpanlara ayırma  yöntemi;

           ax + by + bx + ay   ifadesini çarpanlara ayıralım.

Aynı ortak çarpanı olanları yanyana yazalım.

 

     ax + ay + bx + by =a.(x+y) + b.(x+y) =(x+y) .(a+b)  olur.

 

2)  Özdeşlikler  ile  çarpanlara ayırma ;

      iki kare farkı özdeşliği:    (Bir kenarı a olan bir karenin alanından kenarı b birim olan bir karenin alanını çıkarma işleminin formulize edilmesi.)

  a2 - b2  = (a-b).(a+b)

Örnek :   a=5  için ve b=3  için formüle bakalım.

           52 -32 = (5-3).(5+3)    olarak yazıldığında

bu eşitliğin her iki tarafını ayrı ayrı hesaplarsak

           25-9= 2.8    olduğu görülür ki  16=16  olur.

Örnek :   c- d2 = (c-d).(c+d)  ,   m- n2 = (m-n).(m+n)  .. gibi.

Örnek :   20- 132 = (20-13).(20+13)  , 35- 802 = (35-80).(35+80)

Örnek :   64-25 =8- 52 = (8-5).(8+5) 

Örnek :   64a2-25b2 =(8a)- (5b)2 = (8a-5b).(8a+5b)

Örnek :   9x2-49y2 =(3x)- (7y)2 = (3x-7y).(3x+7y)     olarak yazılırlar.

TAM KARE İFADELER 

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ ;

İki terim toplamının yada farkının parantez karesi :

(a+b)2  = a+ 2.a.b +b2  

(a -b)2  = a2 - 2.a.b +b

Örnek : 

(5a+2b)2  = (5a)2 + 2.5a.2b + (2b)2 = 25a2 +20.a.b +4b2

 

İki küp toplamı ve farkı :

 a3 - b3= (a-b). (a+ a.b +b2 ) 

 

 a3 + b3= (a+b). (a2 - a.b +b2 )

 

Örnek : 

 (2a)3+(5b)3  = (2a+5b). ( (2a)2 - 2a.5b +(5b)2 )

                             = (2a+5b). ( 4a2 - 10.a.b +25b2 ) 

Örnek : 

(7x)3-(3y)3  = (7x-3y). ( (7x)2 +7.x.3.y +(3y)2 )

                                = (7x-3y). ( 49y2 + 21.x.y +9y2 ) 

 

1)

 5x+5y

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

 

Çözüm :

Ortak çarpan 5 parantezine alınır.

5x+5y = 5 . ( x + y ) olur.

 

     

2)

4 a - 12 b

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

   Çözüm:

Ortak çarpan 4 parantezine alınır.

4 a - 12 b = 4.a - 4 . 3 . b = 4 . ( a - 3b ) olur.

 

 

   

3)

  x2 - x

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

Çözüm:

Ortak çarpan x parantezine alınır.

x2 - x = x . x - x . 1 = x . ( x - 1 )

 

 

 

   

4)

  4 x2 - 10 x

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

Çözüm:

Ortak çarpan 2x parantezine alınır.

4 x2 - 10 x = 2 . 2 x . x - 2. 5 . x = 2 x . ( 2x - 5 )

 

 

   

5 )

 a3 + a2 - 3 a

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

Çözüm:

Ortak çarpan a parantezine alınır.

 a3 + a2 - 3 a = a . ( a2 + a - 3 )

 

 

   

6)

  (a + b ) x + ( a + b ) 2 y

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

Çözüm:

Ortak çarpan ( a + b ) parantezine alınır.

(a + b ) x + ( a + b ) 2 y = (a + b ) . ( x + ( a + b ) . y )

 

 

   

7)

 - 7 x - 21

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

Çözüm :

Ortak çarpan -7 parantezine alınır.

- 7 x - 21 = -7 . x - 7 . 3 = - 7 ( x + 3 ) olur.

     

8 )

  x2 - 5 x + 6

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

 

 

Çözüm :

x2 - 5 x + 6 ifadesinde

çarpımları +6 ( son terim ) ve toplamları -5 ( ortadaki terim )

olan iki sayı (- 2 ) ile ( -3 ) olur.

x2 - 5 x + 6 = ( x -2 ) . ( x - 3 )

     

9 )

  x2 - x - 12

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

 

 

Çözüm :

x2 - x - 12 ifadesinde

çarpımları -12 ( son terim ) ve toplamları -1 ( ortadaki terim )

olan iki sayı (- 4 ) ile ( + 3 ) olur.

x2 - x - 12 = ( x - 4 ) . ( x + 3 )

     

10 )

  x2 + 8 x - 9

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

 

 

Çözüm :

x2 + 8 x - 9 ifadesinde

çarpımları - 9 ( son terim ) ve toplamları 8( ortadaki terim )

olan iki sayı (- 1 ) ile ( + 9 ) olur.

x2 + 8 x - 9 = ( x -1 ) . ( x + 9 )

     

11 )

  8x2 - 2 x - 15

ifadesini çarpanlarına ayırınız.

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

8x2 - 2 x - 15 ifadesinde

2x              -3

4x               5

8x2 ifadesi 2x ve 4 x in çarpımı , -15 ise -3 ile 5 in çarpımı dır.

Çapraz olarak çarpımları

2x . 5 + 4x . ( -3 ) = 10x - 12x = -2x ( ortadaki terimi vermeli )

8x2 - 2 x - 15 = ( 2x - 3 ) . ( 4x + 5 ) olarak yazılır.

     

12 )

    a2 - b2   
   a2 + ab
 :      a2  - ab   
   ab + a
= ?    

ifadesinin sadeleştirilmiş şekli nedir?

 

 

 

Çözüm :

ikinci ifade ters çevrilip çarpma olarak yazıldı.

Çarpanlara ayırma ve sadeleştirme işlemi yapılır.

      (a - b ). ( a + b )   
   a . ( a + b )
 .      a . ( b + 1 )   
   a . ( a - b )
=
=     b + 1    
      a
     

 

 

 

   
YGS LYS KPSS  SINAVLARI  Matematik konularını Hızlı öğrenmek için soru çözüm yöntemleri 

     Matematik öğrenmek, konuları iyi anlamak ve konu testlerini çözebilmek için öncelikle

ilkokul ve ortaokul matematik dersi eğitiminin çok iyi alınmış olması gereklidir.

    Bu sitemizde öğrencilerin bu konulardaki eksik bilgilerini yada az öğrenilmiş bilgilerini

geliştirmek ve pekiştirmek amaçlı olarak , matematik dersinin en temel işlemleri olan 

toplama çıkarma çarpma ve bölme işlemlerini hızlı bir şekilde pratik yapmak suretiyle,

örnekler üzerinde uygulamalı olarak çalışabileceğiniz soru çeşitleri hazırlanmıştır.

   Bu soruların üzerinde çalışarak hem dört işlemi , hemde soru tiplerinin nasıl çözüleceğini

hızlı bir şekilde öğrenme fırsatı bulabilir , geçmiş konulardaki tam öğrenilmemiş 

bilgilerinizi geliştirebilirsiniz.