Kümeler konu anlatımı - bymutlu.com
Kümeler konu anlatımı , 9.Sınıf Matematik kümeler

Kümeler

Küme :   İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir .

Kümeler A , B , C , ..... gibi büyük harflerle adlandırılır.

c harfi bir A kümesinin elemanı ise c ∈ A ile ifade edilip ,

c elemanıdır A kümesinin diye okunur.

 A kümesinin eleman sayısı S(A) şeklinde yazılır .

Örnek :

A = { a , b , c , d , e } , S(A) = 5 elemanlıdır.

Kümelerin Gösterimi :

1 ) Liste Yöntemi :

Kümenin elemanları aralarına virgül konularak küme parantezi içinde yazılır . Bir eleman iki kez yazılmaz.

A = { a , b , c , 1 , 2 , 3 }

B = { a , b , { c , d } , e } kümesi 5 değil 4 elemanlı bir kümedir.

a ∈ B , b ∈ B , { c, d } ∈ B , e ∈ B olur. S (B )= 4

2) Ortak Özellik Yöntemi :

   Kümenin elemanları tek tek yazılarak değil de ,

elemanların herkes tarafından aynı anlaşılacak şekilde ifade edilmesi durumudur.

Örnek :

H = { Haftanın Günleri } , kümesi 7 elemanlı bir kümedir .

Örnek :

A = { Alfabe deki sesli harfler } , 8 elemanlı bir kümedir .

Örnek :

A = { x : 3 < x < 10 , x Doğal sayı } , kümesi ,

x öyle ki, 3 küçüktür x küçüktür 10 , ve x doğal sayıdır .. diye okunur .

Bu durumda A kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım ,

A = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } olup , S ( A ) = 6 elemanlıdır.

Örnek :

A = { x : 3 ≤ x ≤  10   ,  x ∈ N } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A = { 3,4,5,6,7,8,9,10 }   olup S(A) = 8  elemanlıdır.

 

Örnek :

A = { x : -2 ≤ x <  5   ,  x ∈ N } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A kümesinin elemanları -2 ile 5 arasındaki doğal sayılardır . (5 alınmaz.)

A = {0,1,2,3,4}   S(A) = 5 olur.

 

Örnek :

A = { x : -2 ≤ x <  5   ,  x ∈ Z } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A kümesinin elemanları -2 ile 5 arasındaki Tam sayılardır . (5 alınmaz.)

A = {-2,-1,0,1,2,3,4}   S(A) = 7 olur.

3)  Venn Şeması Yöntemi :

Kümenin elemanları kapalı bir şekil içine,

kenarlarına nokta konularak elemanlar yazılır.

Örnek :

 

 

Küme Çeşitleri :

1 ) Sonlu Küme , Sonsuz Küme :

Elemanları sayılabilir sayıda olan kümelere sonlu küme denir.

A = { Rakamlar }   ise S(A)= 10 eleman vardır.

Elemanları sayılamayan sayıda , sonsuz sayıda olan kümelere sonsuz küme denir.

Örneğin;  Doğal sayılar kümesi , Tam sayılar kümesi sonsuz kümelerdir.

N ={0,1,2,3,4,.......}  

 

2 ) Eşit Küme :

Aynı elemanlardan oluşan kümeler eşit kümeler dir.

A = {1,2,3,4}  ,  B = {1,2,3,4}  ise  A ve B eşit kümelerdir. A = B

S(A) = S(B)=4    , Eleman sayılarıda eşit olur.

 

3) Denk Kümeler :

Farklı elemanlardan oluşan ,  ve eleman sayıları aynı ise ,

Denk kümeler denir.

A = {1,2,3}  ,  B = {a,b,c}  ise  A ≡B  , Adenktir B okunur.

 

4) Boş Küme :

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

{  }    yada   ∅  sembolü ile gösterilir.

A = ∅     ise  S(A) = 0   dır.

Örnek ;

A = { X :  -3 < x < 0  , x  ∈ N }  kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A kümesinin elemanlar hem negatif sayılar , hemde doğal sayı olduğu yazıyor.

Doğal sayılar negatif değildir.  A = ∅   olup S(A) = 0 dır.

 

ALT KÜME 

Bir kümenin elemanlarından oluşturulan yeni kümelere alt kümeler denir.

B kümesinin elemanlarının hepsi A kümesinin de elemanı ise,

B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve 

B ⊂ A  şeklide gösterilir.

Şekilde    B ⊂ A   dir.   C ⊄ A  ( B alt kümesidir A , Fakat C alt kümesi değildir A)

 

Örnek :

A = { a,b,c,d }   kümesinin alt kümelerini yazalım.

0 Elemanlı

Alt  Kümeler

  1 Elemanlı

 Alt  Kümeler

  2 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  3 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  4 Elemanlı

  Alt  Kümeler

{ }

{a}

{b}

{c}

{d}

{a,b}

{a,c}

{a,d}

{b,c}

{b,d}

{c,d}

{a,b,c}

{a,b,d}

{a,c,d}

{b,c,d}

{a,b,c,d}
C(4,0)=1 tane

C(4,1)=4 tane

C(4,2)=6 tane

C(4,3)=4 tane

C(4,4)=1 tane

 A kümesinin Toplam 1+4+6+4+1 =16  tane alt kümesi vardır.

Alt küme sayısı  2 = 2.2.2.2 = 16 tane  olur.

ALT KÜME SAYISI HESAPLAMA 

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n   formülü  ile bulunur.

Öz alt küme:

Bir kümenin kendisi dışındaki diğer alt kümeleri öz alt kümelerdir.

Öz alt küme sayısı  2n - 1   formülü ile bulunur. (Kendisini saymıyoruz.)

Örnek :

 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ve özalt küme sayısı kaçtır?

Çözüm :

2 = 2.2.2= 8    alt kümesi ve 8 -1 = 7 tane de özalt kümesi vardır.

Örnek :

128  tane alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır?

Çözüm :

128 :2 = 64 , 64 :2 =32 , 32:2 = 16 , 16 : 2=8 , 8:2 =4 , 4:2 =2 , 2:2=1   ise,

128 sayısı 7 kez 2 ye bölündü.

2 = 128  ise  2 = 27 ise   n=7  elemanlıdır.

Örnek : 

Alt küme ve öz alt küme sayısı toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır?

Çözüm :

 2n + 2n - 1 = 63   ise 

2. 2n  - 1 =63

 2. 2n=63+1 ise  2. 2n =64    ise  2n =32    olup  n=5  elemanlı olur.

 

Örnek :

A = { a,b,c,d }   kümesinin alt kümelerini yazalım.

0 Elemanlı

Alt  Kümeler

  1 Elemanlı

 Alt  Kümeler

  2 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  3 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  4 Elemanlı

  Alt  Kümeler

{ }

{a}

{b}

{c}

{d}

{a,b}

{a,c}

{a,d}

{b,c}

{b,d}

{c,d}

{a,b,c}

{a,b,d}

{a,c,d}

{b,c,d}

{a,b,c,d}

 Sorular:

Yukarıda verilen A = { a,b,c,d } kümesinin;

a) Kaç tane alt kümesi vardır?

24 =16

b) 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

C(4,2)= 6  tane.

c) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

0 elemanlılar+ 1 elemanlılar + 2 elemanlı alt kümeler (Kombinasyon ile hesaplanır.)

C(4,0)+C(4,1)+C(4,2)=1+4+6=11 tane 

 

Devamı ..Kümeler Çözümlü Sorular 1

Futbol Turnuva