Kümeler çözümlü sorular
Futbol Turnuva
Kümeler ile igili çözümlü sorular , 9. Sınıf Kümeler konu anlatımı , Küme problemleri.

 

KÜMELER

 

1) A = { 1 , 2 , { 3 , 4 },5 , 6 } ise,

A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

 

 

Çözüm :

{ 3 , 4 } tek eleman olarak sayılacaktır , bu durumda A kümesinin eleman sayısı 5 tane S( A ) = 5 olur.

 

     

2) A = { x | , -3 < x < 5 , x ∈ Z } ise A kümesinin elemanları hangileridir?

 

 

Çözüm:
A = { -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } olur . S ( A ) = 7 elemanlıdır.

 

     

3)

 A = { x | , -3 < x < 5 , x ∈ N } ise A kümesinin elemanları hangileridir?

 

 

Çözüm: x ∈ N , yani kümenin elemanları -3 ile 5 arasındaki

doğal sayılar olur.

A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } olur . S ( A ) = 5 elemanlıdır.

     

4)

A = { a , b , c } kümesinin alt kümelerini yazınız , alt küme sayısı kaçtır ?

 

 

 

 

 

Çözüm:

Sıfır elemanlı alt küme : { } , 1 tane

Bir elemanlı alt kümeler : { a } , { b } , { c } 3 tane

İki elemanlı alt kümeler : { a , b } , { a , c } , { b , c } 3 tane

Üç elemanlı alt kümeler : { a , b , c } 1 tane

Alt küme sayısı toplamı : 1 + 3 + 3 + 1 = 8 tane olur. Ayrıca ,

Alt küme sayısı = 2 n = 2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 olur.

 

     

5)

A = { a , b , c , d , e , f } kümesinin alt küme sayısı ve öz alt küme sayısı kaçtır ?

 

 

 

Çözüm:

S ( A ) = 6 ise n = 6 alınır.

Alt küme sayısı = 2 n = 2 6 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 olur.

Özalt küme sayısı = 2 n - 1 = 64 - 1 = 63 olur.

     

6)

32 tane alt kümesi olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

 

 

 

 

 

Çözüm :

2 n = 32 ise n sayısı kümenin eleman sayısıdır.

Kaç tane 2 nin çarpımı 32 olur diye düşünürüz.

32 : 2 = 16 , 16 : 2 = 8 , 8 : 2 = 4 , 4 : 2 = 2 , 2 : 2 =1 olup,

5 kez 2 ye bölme işlemi uygulandı . n = 5 olur.

küme 5 elemanlıdır.

     

7 )

127 tane öz alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır?

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

2 n -1 = 127

2 n = 127+ 1

2 n = 128 , ise n sayısı kümenin eleman sayısıdır.

Kaç tane 2 nin çarpımı 128 olur diye düşünürüz.

128: 2 = 64 , 64 / 2 = 32 ,

32 : 2 = 16 , 16 : 2 = 8 , 8 : 2 = 4 , 4 : 2 = 2 , 2 : 2 =1 olup,

7 kez 2 ye bölme işlemi uygulandı . n = 7 olur.

küme 7 elemanlıdır.

     

8 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "b" eleman olarak bulunmaz ?

 

 

 

 

 

Çözüm : Bu gibi sorularda verilen eleman hariç tutulup ,

geriye kalan elemanlardan oluşan yeni kümenin alt küme sayısı cevap olur. b hariç ,

{ a , c , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

aynı zamanda A kümesininde içinde "b" olmayan alt kümeleri olmaktadır .

O halde , cevap 2 4 = 16 tanesinde b olmaz.

     

9 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "b" eleman olarak bulunur ?

 

 

Çözüm :

Bütün alt kümeler - İçinde "b" olmayan alt kümeler

cevap: 2 5 - 2 4 = 32 - 16 = 16 tanesinde de b bulunur.

     

10 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya c eleman olarak bulunur ?

 

 

Çözüm :

Bütün alt kümeler - İçinde a ve c ( ikisi aynı anda bulunmayan ) alt kümeler

cevap: 2 5 - 2 3 = 32 - 8 = 24 tanesinde a veya c den biri mutlaka vardır.

     

11 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve c eleman olarak bulunur ?

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

a ve c bulunur demek ikisi aynı anda kesin var demek .

a ile c hariç {b , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

2 3 = 2.2.2 = 8 tanedir , Şimdi bu 8 tane kümenin içine

a ve c yi de biz eklediğimizi düşündüğümüzde ,

o zaman içinde a ve c nin kesin bulunduğu alt kümelerin de 8 tane

olduğu anlaşılacaktır.

cevap 8 dir.

     

12 )

A = { a , b , c , d , e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunup b eleman olarak bulunmaz ?

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

a ve b yi ilk önce saymayız , oluşan alt kümelere a yı sonradan yazdığımızı düşünüyoruz.

a ile b hariç {c , d , e } kümesinden oluşan alt kümeler

2 3 = 2.2.2 = 8 tanedir , Şimdi bu 8 tane kümenin içine

"a" yı eklediğimizi düşündüğümüzde ,

o zaman içinde a nıın olduğu b nin olmadığı alt kümeler oluşur , 8 tane olduğu anlaşılacaktır.

cevap 8 dir.

     

13 )

A={a, b , 1, ,2, 4 } B={a, c , 1 , 3 , 5 , 7 } kümeleri veriliyor. Birleşim ve kesişim kümelerini yazınız.

 

 

 

 

Çözüm :

Kesişim kümesine , her iki kümede de olan ortak elemanlar yazılır.

A ∩ B = {a, 1 }

Birleşim kümesine ise her iki kümedeki bütün elemanlar yazılır , ancak bir eleman iki kez yazılmaz bir kez yazılır.

A ∪ B = {a, b , c , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 }

     

14)

A ∩ B ≠{ }

S ( A ) = 2 . S ( B )

2 .S ( A \ B) = 5. S ( B \ A )

olduğuna göre , B kümesi en az kaç elemanlıdır?

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

S ( A \ B) = 5x ,  S ( B \ A ) = 2x   diyelim. S ( A ∩ B ) = c olsun.

S ( A ) = 5x + c    ve   S ( B ) = 2 . x + c olur.

S ( A ) = 2 . S ( B ) ise ,

5x + c = 2 . ( 2 . x + c )

5x + c = 4x + 2 c

5x - 4x = 2c -c

x = c olur .

Bu durumda S ( B ) = 2 x + c = 2 c + c = 3.c olup,

c = 1 için en az S( B ) = 3 elemanlı olur.

     

15 )

Herkesin en az bir oyun oynadığı 30 kişilik bir sınıfta , Futbol oynayan 20 , Basketbol oynayan 16 kişi ise , her iki oyunu da oynayan kaç kişi vardır?

 

 

 

 

Çözüm :

S ( F ) = 20 ,  S ( B ) = 16 ,  S ( F ∪ B ) = 30 , S ( F ∩ B ) = ?

Formül den ;

S ( F ∪ B ) = S ( F ) + S ( B ) - S ( F ∩ B )

30 = 20 + 16 - S ( F ∩ B )

S ( F ∩ B ) = 36 - 30

S ( F ∩ B ) = 6     kişi vardır.

     

16)

S ( A -B ) = 2 . S( B - A) = 3 S (A ∩ B ) ve

S ( A ) - S ( B ) = 6 olduğuna göre S ( A ∪ B ) =?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

Bu tür sorularda kat sayıların ekok u alınır .

Ekok ( 1, 2, 3 ) = 6 olur. Buradan

S ( A -B ) = 6k , S( B - A) = 3k ve S (A ∩ B )= 2k denir.

Şekil üzerine verilenleri yazalım .

 

S ( A ) = 6k + 2k = 8k , S ( B ) = 3k + 2k = 5k

S ( A ) - S ( B ) = 6 ise

8k - 5k =6 , 3 k = 6 ise k=6/3 , k=2 olur.

S ( A ∪ B ) = 6k + 2k + 3k = 11 k = 11 . 2 = 22 olur.

     
KÜMELER BULUNUR BULUNMAZ SORULARI

17)

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 bulunur ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

Bu tür sorularda 7 elemanlı bir kümenin

3 elemanlı alt küme sayısı

C ( 7 , 3 ) = 35 ( 7 nin 3 lü kombinasyonu )

35 tane 3 elemanlı alt küme var demektir .

Ancak bunların bazılarında 4 vardır , bazılarında yoktur .

Şimdi 4 ü ayrı tutup , 4 ün olmadığı 3 elemanlı

alt kümeleri oluşturacak olursak ,

Geriye 6 eleman kalacaktır .

C ( 6 , 3 ) = 20 olup bunlarda 4 elemanı bulunmaz.

O halde Bütün 3 elemanlı alt kümelerden ,

İçinde 4 ün bulunmadığı 3 elemanlı alt kümeleri çıkarırsak,

geriye içinde 4 bulunan 3 elemanlı alt kümeler kalır.

Cevap :

C ( 7 , 3 ) - C ( 6 , 3 ) = 35 - 20 = 15 olur.

2. YOL :

4 hariç geriye A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 } 6 eleman kalır .

Bu 6 elemandan oluşan 2 elemanlı alt kümeler

C ( 6 , 2 ) = 6.5 / 2.1 = 15 tanedir .

İşte bu 15 tane kümenin içine 4 ü eleman olarak

eklediğimizde oluşan kümeler hem 3 elemanlı

hemde içinde 4 ün bulunduğu kümeler olur.

15 tanedir bunlar.

 

     

18)

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 bulunur , 5 bulunmaz ?

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

4 ve 5 hariç geriye 5 eleman kalır .

İstenen alt kümeler 3 elemanlı olduğundan ,

bu 5 elemandan oluşan 2 elemanlı alt kümeleri

yazıyoruz . Niye 2 elemanlı , çünkü daha sonra

bunların içine bulunsun dediği 4 ü ekleyeceğiz.

C ( 5 , 2 ) = 5.4 / 2 . 1 = 20 / 2 = 10 tanedir.

Bu 10 tane kümede 4 ve 5 yoktur ve 2 elemanlıdırlar.

Bunlara 4 ü yazarsak hem 3 elemanlı olurlar hemde içinde

4 vardır 5 yoktur. Cevap 10 dur.

     

19 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m }

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde "a" ve "b" bulunup , "c" bulunmaz ?

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

Bu tip sorularda izlenecek yol şudur ;

Normalde 11 elemanlı bu kümenin 4 elemanlı alt kümeleri ;

C ( 11 , 4 ) kadardır .

Soruda verilen 3 tane elemanı 11 den çıkarıyoruz.

Sonra 4 elemandanda bulunması istenilen kadar eleman için yer açılacak , yani 4 tende 2 çıkacak ( a ve b için).

O halde cevap

C ( 11-3 , 4 - 2 ) = C ( 8 , 2 ) = 8 . 7 / 2 . 1 = 28 olur.

     

20 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m , n , p , r }

kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b , c bulunup , k , m , n bulunmaz ?

 

 

 

 

Çözüm :

C ( 14 , 6 ) düzenleme yapıyoruz .

14 ten 5 eleman çıkacak , ve

6 dan da 2 çıkacak ( bulunsun denilen kadar .)

Cevap :

C ( 14 -5 , 6 - 2 ) = C ( 9 , 4 ) = 9 .8.7.6 / 4.3.2.1 = 126 olur.

     

21 )

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , l , m , n , p , r }

kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b veya c bulunup , k , m , n bulunmaz ?

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

Bu soruda ise ;

b , c , k , m , n elemanları dışında geriye

14 - 5= 9 eleman kalıyor .

k , m , n bulunmayan bütün 6 elemanlı alt kümelerden , ( 11,6)

b , c , k , m , n bulunmayan 6 elemanlı alt kümeler çıkarılınca (9,6)

geriye içinde b veya c olan, fakat k , m , n elemanlarının olmadığı 6 elemanlı alt kümeler kalacaktır.

Cevap : k , m , n hariç 14 - 3 = 11 eleman kalıyor. ( a ve b var .)

C ( 11 , 6 ) - C ( 9 , 6 ) = 462 - 84 = 378

     

22)

A ve B kümeleri için ,

S ( A ∩ B' ) = 4 . S ( B )

S (A ∩ B ) = 5 , S ( A ∪ B ) = 40 ise

S ( B - A ) =?

 

 

 

 

 

 

Çözüm :

S ( A ∩ B' ) = S ( A - B ) eşitliği vardır.

S ( B - A ) = x olsun. S (A ∩ B ) = 5 ise

Bu durumda S ( B ) = x + 5 olur.

S ( A - B ) = 4 . ( x + 5 ) olur.

S ( A ∪ B ) = S ( A - B ) + S (A ∩ B ) + S ( B - A )

40 = 4x + 20 + 5 + x

40 - 25 = 5x ise x = 15 /5

x = 3 olur.

S ( B - A ) = 3

     
     

 

YGS LYS KPSS  SINAVLARI  Matematik konularını Hızlı öğrenmek için soru çözüm yöntemleri tıklayın.. 

Matematik öğrenmek, konuları iyi anlamak ve konu testlerini çözebilmek için öncelikle

ilkokul ve ortaokul matematik dersi eğitiminin çok iyi alınmış olması gereklidir.

    Bu sitemizde öğrencilerin bu konulardaki eksik bilgilerini yada az öğrenilmiş bilgilerini geliştirmek ve pekiştirmek amaçlı olarak ,

matematik dersinin en temel işlemleri olan toplama çıkarma çarpma ve bölme işlemlerini hızlı bir şekilde pratik yapmak suretiyle,

örnekler üzerinde uygulamalı olarak çalışabileceğiniz soru çeşitleri hazırlanmıştır.

   Bu soruların üzerinde çalışarak hem dört işlemi , hemde soru tiplerinin nasıl çözüleceğini

hızlı bir şekilde öğrenme fırsatı bulabilir , geçmiş konulardaki tam öğrenilmemiş 

bilgilerinizi geliştirebilirsiniz.