Kümeler konu anlatımı
Kümeler konu anlatımı , 9.Sınıf Matematik kümeler

Kümeler

Küme :   İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir .

Kümeler A , B , C , ..... gibi büyük harflerle adlandırılır.

c harfi bir A kümesinin elemanı ise c ∈ A ile ifade edilip ,

c elemanıdır A kümesinin diye okunur.

 A kümesinin eleman sayısı S(A) şeklinde yazılır .

Örnek :

A = { a , b , c , d , e } , S(A) = 5 elemanlıdır.

Kümelerin Gösterimi :

1 ) Liste Yöntemi :

Kümenin elemanları aralarına virgül konularak küme parantezi içinde yazılır . Bir eleman iki kez yazılmaz.

A = { a , b , c , 1 , 2 , 3 }

B = { a , b , { c , d } , e } kümesi 5 değil 4 elemanlı bir kümedir.

a ∈ B , b ∈ B , { c, d } ∈ B , e ∈ B olur. S (B )= 4

2) Ortak Özellik Yöntemi :

   Kümenin elemanları tek tek yazılarak değil de ,

elemanların herkes tarafından aynı anlaşılacak şekilde ifade edilmesi durumudur.

Örnek :

H = { Haftanın Günleri } , kümesi 7 elemanlı bir kümedir .

Örnek :

A = { Alfabe deki sesli harfler } , 8 elemanlı bir kümedir .

Örnek :

A = { x : 3 < x < 10 , x Doğal sayı } , kümesi ,

x öyle ki, 3 küçüktür x küçüktür 10 , ve x doğal sayıdır .. diye okunur .

Bu durumda A kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazalım ,

A = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } olup , S ( A ) = 6 elemanlıdır.

Örnek :

A = { x : 3 ≤ x ≤  10   ,  x ∈ N } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A = { 3,4,5,6,7,8,9,10 }   olup S(A) = 8  elemanlıdır.

 

Örnek :

A = { x : -2 ≤ x <  5   ,  x ∈ N } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A kümesinin elemanları -2 ile 5 arasındaki doğal sayılardır . (5 alınmaz.)

A = {0,1,2,3,4}   S(A) = 5 olur.

 

Örnek :

A = { x : -2 ≤ x <  5   ,  x ∈ Z } ise

A kümesi kaç elemanlıdır?

A kümesinin elemanları -2 ile 5 arasındaki Tam sayılardır . (5 alınmaz.)

A = {-2,-1,0,1,2,3,4}   S(A) = 7 olur.

3)  Venn Şeması Yöntemi :

Kümenin elemanları kapalı bir şekil içine,

kenarlarına nokta konularak elemanlar yazılır.

Örnek :

 

 

Küme Çeşitleri :

1 ) Sonlu Küme , Sonsuz Küme :

Elemanları sayılabilir sayıda olan kümelere sonlu küme denir.

A = { Rakamlar }   ise S(A)= 10 eleman vardır.

Elemanları sayılamayan sayıda , sonsuz sayıda olan kümelere sonsuz küme denir.

Örneğin;  Doğal sayılar kümesi , Tam sayılar kümesi sonsuz kümelerdir.

N ={0,1,2,3,4,.......}  

 

2 ) Eşit Küme :

Aynı elemanlardan oluşan kümeler eşit kümeler dir.

A = {1,2,3,4}  ,  B = {1,2,3,4}  ise  A ve B eşit kümelerdir. A = B

S(A) = S(B)=4    , Eleman sayılarıda eşit olur.

 

3) Denk Kümeler :

Farklı elemanlardan oluşan ,  ve eleman sayıları aynı ise ,

Denk kümeler denir.

A = {1,2,3}  ,  B = {a,b,c}  ise  A ≡B  , Adenktir B okunur.

 

4) Boş Küme :

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

{  }    yada   ∅  sembolü ile gösterilir.

A = ∅     ise  S(A) = 0   dır.

Örnek ;

A = { X :  -3 < x < 0  , x  ∈ N }  kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A kümesinin elemanlar hem negatif sayılar , hemde doğal sayı olduğu yazıyor.

Doğal sayılar negatif değildir.  A = ∅   olup S(A) = 0 dır.

 

ALT KÜME 

Bir kümenin elemanlarından oluşturulan yeni kümelere alt kümeler denir.

B kümesinin elemanlarının hepsi A kümesinin de elemanı ise,

B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve 

B ⊂ A  şeklide gösterilir.

Şekilde    B ⊂ A   dir.   C ⊄ A  ( B alt kümesidir A , Fakat C alt kümesi değildir A)

 

Örnek :

A = { a,b,c,d }   kümesinin alt kümelerini yazalım.

0 Elemanlı

Alt  Kümeler

  1 Elemanlı

 Alt  Kümeler

  2 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  3 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  4 Elemanlı

  Alt  Kümeler

{ }

{a}

{b}

{c}

{d}

{a,b}

{a,c}

{a,d}

{b,c}

{b,d}

{c,d}

{a,b,c}

{a,b,d}

{a,c,d}

{b,c,d}

{a,b,c,d}
C(4,0)=1 tane

C(4,1)=4 tane

C(4,2)=6 tane

C(4,3)=4 tane

C(4,4)=1 tane

 A kümesinin Toplam 1+4+6+4+1 =16  tane alt kümesi vardır.

Alt küme sayısı  2 = 2.2.2.2 = 16 tane  olur.

ALT KÜME SAYISI HESAPLAMA 

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n   formülü  ile bulunur.

Öz alt küme:

Bir kümenin kendisi dışındaki diğer alt kümeleri öz alt kümelerdir.

Öz alt küme sayısı  2n - 1   formülü ile bulunur. (Kendisini saymıyoruz.)

Örnek :

 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı ve özalt küme sayısı kaçtır?

Çözüm :

2 = 2.2.2= 8    alt kümesi ve 8 -1 = 7 tane de özalt kümesi vardır.

Örnek :

128  tane alt kümesi olan bir küme kaç elemanlıdır?

Çözüm :

128 :2 = 64 , 64 :2 =32 , 32:2 = 16 , 16 : 2=8 , 8:2 =4 , 4:2 =2 , 2:2=1   ise,

128 sayısı 7 kez 2 ye bölündü.

2 = 128  ise  2 = 27 ise   n=7  elemanlıdır.

Örnek : 

Alt küme ve öz alt küme sayısı toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır?

Çözüm :

 2n + 2n - 1 = 63   ise 

2. 2n  - 1 =63

 2. 2n=63+1 ise  2. 2n =64    ise  2n =32    olup  n=5  elemanlı olur.

 

Örnek :

A = { a,b,c,d }   kümesinin alt kümelerini yazalım.

0 Elemanlı

Alt  Kümeler

  1 Elemanlı

 Alt  Kümeler

  2 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  3 Elemanlı

  Alt  Kümeler

  4 Elemanlı

  Alt  Kümeler

{ }

{a}

{b}

{c}

{d}

{a,b}

{a,c}

{a,d}

{b,c}

{b,d}

{c,d}

{a,b,c}

{a,b,d}

{a,c,d}

{b,c,d}

{a,b,c,d}

 Sorular:

Yukarıda verilen A = { a,b,c,d } kümesinin;

a) Kaç tane alt kümesi vardır?

24 =16

b) 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

C(4,2)= 6  tane.

c) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

0 elemanlılar+ 1 elemanlılar + 2 elemanlı alt kümeler (Kombinasyon ile hesaplanır.)

C(4,0)+C(4,1)+C(4,2)=1+4+6=11 tane 

 

 

 

 

 

YGS LYS KPSS  SINAVLARI  Matematik konularını Hızlı öğrenmek için soru çözüm yöntemleri 

     Matematik öğrenmek, konuları iyi anlamak ve konu testlerini çözebilmek için öncelikle

ilkokul ve ortaokul matematik dersi eğitiminin çok iyi alınmış olması gereklidir.

    Bu sitemizde öğrencilerin bu konulardaki eksik bilgilerini yada az öğrenilmiş bilgilerini

geliştirmek ve pekiştirmek amaçlı olarak , matematik dersinin en temel işlemleri olan 

toplama çıkarma çarpma ve bölme işlemlerini hızlı bir şekilde pratik yapmak suretiyle,

örnekler üzerinde uygulamalı olarak çalışabileceğiniz soru çeşitleri hazırlanmıştır.

   Bu soruların üzerinde çalışarak hem dört işlemi , hemde soru tiplerinin nasıl çözüleceğini

hızlı bir şekilde öğrenme fırsatı bulabilir , geçmiş konulardaki tam öğrenilmemiş 

bilgilerinizi geliştirebilirsiniz.