ikinci dereceden denklemler çözümlü sorular konu anlatımı

 İkinci dereceden denklemler çözümlü sorular lys 10.sınıf

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

1) x2-9=0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 

 

 

 

Çözüm :

x2-9=0 ise

x2=9

karesi 9 a eşit olan -3 ve 3 olur.

     

2) (x-5)(x+3)=0 ise çözüm kümesi hangisidir?

 

 

 

   Çözüm:
(x-5) . (x+3)=0 ise çarpanlar ayrı ayrı 0' a eşitlenip
x in değerleri bulunur.
x-5=0 ise x+3=0 ise
x=5           x=-3

 

 

     

3)

 x2 - 4x=0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

 

 

 

Çözüm:

x2 - 4x=0 ise çarpanlara ayıralım.

x.(x-4)=0 olup ayrı ayrı 0'a eşitlenir.

x=0 ve x-4=0

x=4 o halde Ç={0,4}

     

4)

x2 - 5 x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

 

 

 

 

 

Çözüm:

x2 - 5 x + 6 = 0 ise çarpanlara ayıralım

Çarpımları +6 ve toplamları -5 olan iki sayı (-2) ve (-3) olup,

verilen ifade (x-2).(x-3)=0 olarak yazılır.

x-2=0 ise x=2 , ve x-3=0 ise x=3 olur. Ç= {2,3} olur. 

 

     

5)

x2 + 16 = 0 ise çözüm kümesi nedir? 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

x2 + 16 = 0 ise

x2 = -16

Karesi alındığında -16 yı veren bir reel sayı yoktur .

Bu yüzden bu denklemi sağlayan reel sayı kök yoktur.

Ç= { } olur. Boş küme. 

 

     

6)

x2 - m x - 12 =0 denkleminin köklerinden biri 2 olduğuna göre m kaçtır? 

 

 

 

 

 

 

Çözüm : 2 bu denklemin kökü ise denklemi sağlar.

x in yerine denklemde 2 yazalım.

22 - m .2 - 12 = 0 ise

4-2m-12=0

-8-2m=0

-2m=8 ise her iki taraf -2 ile bölünürse

m=8/-2

m=-4  

     

7)

x2 + m x - 18 =0 denkleminin köklerinden biri 9 ise diğer kökü nedir? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

9 bu denklemi sağlar.

x in yerine 9 yazılıp m bulunur.

92 + m 9 - 18 =0

81+9m -18 =0

9m+63 =0 ise

9m=-63 ,

m=-63/9 ise

m=-7 olur. denklem ;

x2 -7x - 18 =0 olup, çarpanlara ayrılabilir.

Çarpımları -18 ve toplamları -7 olan iki sayı (-9) ve (+2) dir.

(x-9).(x+2)=0 yazılır. buradan

x-9=0 ise x=9 ,

diğer kök

x+2=0 ise

x=-2 bulunur. 

     

8)

 x2 - 2 x + m - 4 =0

denkleminin eşit iki gerçel kökü varsa m kaçtır?

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

  Δ= b2 - 4 . a.c = 0 olmalıdır.

  (-2)2 - 4 . 1.(m-4)=0

  4- 4m+16 =0

 -4m + 20 =0

 -4m =-20

  m = -20/-4

  m = 5

 

     

9)

  3x2 - x + m - 1 =0

denkleminin farklı iki reel kökünün olması için m ne olmalıdır ?

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

  Δ= b2 - 4 . a.c > 0 olmalıdır.

  (-1)2 - 4 . 3.(m-1) > 0

  1- 12 m + 12 > 0

 -12 m + 13 > 0

  -12 m > -13

  m < -13 /-12 ( Eşitliğin her iki tarafı negatif -12 ye bölününce

büyük işareti küçük işareti olarak değişir.)

m < 13 /12

 

     

10)

  Kökleri 3 ve 7 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

x1 = 3   ve   x2= 7    ise

T = x1 + x2    ve    Ç = x1 . x2    olmak üzere ,

T = 3 + 7 = 10     ve    Ç = 3. 7 = 21

Genel denklem ;

x2 -T x + Ç =0

x2 -10 x + 21 =0 olur.

     

11)

  Kökleri -8 ve 5 olan ikinci dereceden denklem nedir?

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

x1 = - 8   ve    x2 = 5    ise

T = x1 + x2    ve    Ç = x1 . x2   olmak üzere ,

T = - 8 + 5 = - 3     ve    Ç = ( - 8 ) . 5 = - 40

Genel denklem ;

x2 -T x + Ç =0

x2 - ( - 3 ) x + ( - 40 ) = 0

x2 + 3 . x - 40 = 0 olur.

     

12)

x2 - 2x - 6 = 0

  Denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre ;

x1 + x2 = ?

x1 . x2 = ?

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

a = 1 , b = -2 , c = -6

x1 + x2   =    - b  
   a
 =     - ( -2 )   
     1
=      2      
     1
=  2
x1 . x2   =     c  
  a
 =     - 6   
    1
= -6    

 

 

     

13)

x2 - 7x + 3 = 0

  Denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre ;

  1   
  x1 
+    1    
  x2
= ?

 

 

Çözüm:

a = 1 , b = -7 , c = 3

x1 + x2   =    - b  
   a
 =     - ( -7 )   
     1
=      7      
     1
= 7
x1 . x2   =     c  
  a
 =      3   
   1
= 3    
  1   
  x1 
+    1  
  x2
=

 x1 + x2   
  x1 . x2

=      7      
     3
   
     

14 )

3 x2 - m x + 5 = 0

  Denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 + x2= 4 olduğuna göre m kaçtır?

 

 

 

Çözüm:

a = 3 , b = -m , c = 5

x1 + x2   =    - b  
   a
 =    - ( -m )   
     3
=      m      
     3
= 4

ise m = 3 . 4 = 12

     

15)

x2 - 8 x + 7 = 0

denklemi verilen parabol x eksenini hangi noktalarda keser ?

 

 

 

 

 

Çözüm:

Denklemin kökleri x1 ve x2 parabolün x eksenini kestiği noktaları verir.

x2 - 8 x + 7 = 0 ise çarpanlara ayıralım

Çarpımları +7 ve toplamları -8 olan iki sayı (-1) ve (-7) olup,

verilen ifade (x-1).(x-7)=0 olarak yazılır.

x-1=0 ise x=1 , ve x-7=0 ise x=7 olur. Ç= {1,7} olur. 

 

     

16)

Şekilde grafiği verilen parabolün denklemi nedir?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çözüm:

Denklemin kökleri x1 ve x2 parabolün x eksenini kestiği noktalardır.

Genel denklem y = a . ( x - x1 ) . ( x - x2 ) olup, a yı bulmak için,

Parabolün y eksenini kestiği nokta ( 0 , 6 ) bu denklemi sağlar.

y = a . ( x - (-3) ) . ( x - 5 )

6 = a . ( 0 + 3 ) . ( 0 - 5 )

6 = -15 . a

a = 6 / -15

a = - 2 / 5

Denklem ,

y = -2/5 .( x + 3 ) . ( x - 5 )

y = -2 .( x2 - 2 x - 15 ) / 5

     
     

 

İkinci dereceden denklemin köklerini delta ile bulma alıştırmaları ,

 

 

 

 

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

 

 


  a,b,c ∈ ℜ  ve  a≠0  olmak üzere ,

       ax2+bx+c=0

  eşitliğine reel katsayılı ,  x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu  denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri, x i bulmak için yapılan işlemlere de

denklem çözme denir.

Örnek:

    (k+1)x3+xn-4+ k+5 =0   ,

ifadesi x e bağlı ikinci dereceden denklem olduğuna göre k ve n kaçtır?

k+1=0     ve    n-4=2   olmalıdır.

k=-1               n=2+4 = 6   olur.

 İkinci dereceden denklem çözme yöntemleri

1)  Çarpanlarına ayırarak denklem çözme:

 f(x).g(x)=0  ise  f(x)=0  veya  g(x)=0    dır.

Bu bilgiden hareketle verilen ikinci dereceden ifade,

çarpanlarına ayrılarak ve ayrı ayrı 0  a eşitlenip

denklemin çözüm kümesi bulunabilir.

 Örnek:

2x2+10x=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:   Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıracak olursak,

2x2+10x=2x.(x+5)    olur,

2x.(x+5)=0    ise    2x=0   veya   x+5=0   dir. Buradan,

                             x=0               x=-5       olur.

Ohalde kökler   x1=0    ,   x2=-5     ve çözüm kümesi   Ç={-5,0} olur.

     

Örnek:

x2-5x+6=0     denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:     x2-5x+6=0   ise

            (x-3).(x-2)=0   

  x-3=0    veya    x-2=0 

     x=3               x=2      olur,

Ç={2,3}  bulunur.

     

 2)  Formül kullanarak (Delta diskriminant) denklem çözme:

     
 a,b,c ∈ ℜ  ve  a≠0  olmak üzere ,

       ax2+bx+c=0   denkleminde

       Δ=b2-4ac     sayısına denklemin diskriminantı denir.

Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ                            -b-√Δ

x1=     --------------     ve    x2=     -----------------           olur.

               2.a                                2.a

     

   Δ   ile ilgili önemli durumlar:

1) Δ<0    ise denklemin reel sayı kökü yoktur.

2) Δ=0    ise  denklemin  eşit (çakışık , kökleri aynı)  kökleri vardır.

3) Δ>0    ise    denklemin farklı iki reel kökü vardır. 

     
  Örnek:

     x2+2x+5=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=2  ,  c=5    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=22-4.1.5 

   Δ=4 - 20

   Δ= - 16         Deltanın eşiti  negatif çıktı , 

 Δ nın karekökü  alınamayacağı için  reel kök bulunamaz.

Bu yüzden   Δ<0   olmasından dolayı  verilen denklemin

reel sayı kökü yoktur.

     
  Örnek:

     x2-6x+9=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=-6  ,  c=9    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=(-6)2-4.1.9 

   Δ=36 - 36

   Δ= 0         Deltanın eşiti sıfır çıktı , 

 Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ           -(-6)+ √0            6   

x1=     -------------- =     ----------------- = ----------=  3        

               2.a                   2.1               2

              -b+√Δ            -(-6)- √0            6   

x1=     --------------  =   ----------------- = ----------=   3        

               2.a                   2.1                2

Görüldüğü gibi  köklerin her ikiside  3  oldu. Demek ki eşit iki kök var ve Δ= 0 dır.

Ç={3}    olup eşit, çakışık , çift kat kök vardır.

     
   Örnek:

     x2-2x-3=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=-2  ,  c=-3    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=(-2)2-4.1.(-3) 

   Δ=4 + 12

   Δ= 16         Deltanın eşiti sıfır çıktı , 

 Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ           -(-2)+ √16          6   

x1=     -------------- =     ----------------- = ----------=  3        

               2.a                   2.1               2

              -b+√Δ            -(-2)- √16         -2   

x1=     --------------  =   ----------------- = ----------=   -1        

               2.a                   2.1                2

Görüldüğü gibi  kökler farklı sayılar  oldu. Demek ki farklı iki kök varsa  Δ> 0 dır.

Ç={-1,3}    olup denklemin farklı iki reel sayı olan kökleri vardır.

     
       
       

 

YGS LYS KPSS  SINAVLARI  Matematik konularını Hızlı öğrenmek için soru çözüm yöntemleri 

     Matematik öğrenmek, konuları iyi anlamak ve konu testlerini çözebilmek için öncelikle

ilkokul ve ortaokul matematik dersi eğitiminin çok iyi alınmış olması gereklidir.

    Bu sitemizde öğrencilerin bu konulardaki eksik bilgilerini yada az öğrenilmiş bilgilerini

geliştirmek ve pekiştirmek amaçlı olarak , matematik dersinin en temel işlemleri olan 

toplama çıkarma çarpma ve bölme işlemlerini hızlı bir şekilde pratik yapmak suretiyle,

örnekler üzerinde uygulamalı olarak çalışabileceğiniz soru çeşitleri hazırlanmıştır.

   Bu soruların üzerinde çalışarak hem dört işlemi , hemde soru tiplerinin nasıl çözüleceğini

hızlı bir şekilde öğrenme fırsatı bulabilir , geçmiş konulardaki tam öğrenilmemiş 

bilgilerinizi geliştirebilirsiniz.